三、證明一個數 a = an × 10n + an−1 × 10n−1 + … + a1 × 10 + a0 是否可以被 11 整除，若且唯若（if and only if）此數偶數位數（a0 + a2 + a4 …，假設個位數算是第一個偶數位數）的和減去此數奇數位數（a1 + a3 + a5 …）的和可以被 11 整除。舉例來說，2156517 可以被 11 整除，因為此數偶數位數的和（7 + 5 + 5 + 2 = 19）減去奇數位數的和（1+ 6 + 1 = 8）為 11，可（提示：證明若 n 為偶數，a mod 11 =(an−an−1 + …−a1 + a0) mod以被 11 整除。11。若 n 為奇數，a mod 11 =(−an + an−1 − …−a1 + a0) mod 11） （12 分）

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