一、粒子被限制在一個一度空間的位能能量井，當0 < x < L，V(x) = 0；而在其他位置，V(x) = ∞。量子力學描述粒子運動的波函數 Ψ 所對應的動能，與位能 V 及總能量 E的關係稱為薛丁格爾（Schrödinger）方程式：  ，m為粒子的質量。藉由此方程式的解，也就是稱為所謂的波函數 Ψ，可以計算粒子的物理量或此物理量的期待值 ，如下：  ，其中代表某一種物理量的數學運算因子。（20 分）
⑴波恩（Born）對 Ψ 的物理意義的解釋：粒子在某一位置上出現的機率，與那個位置上  |Ψ|2 的值成正比。因為總機率等於 1，所以當  時，稱為標準化的波函數Ψ。藉由位能井所決定的邊界條件，以及積分公式 ，求標準化後之特殊解 Ψ。